解题思路：（1）通过函数y=2x+12求出A、M两点坐标，由两点坐标求出直线AM的函数解析式；
（2）设出P点坐标，按照等量关系“[1/2]×|AP|×B到直线AM的距离=S△AOB”即可求出；
（3）判断能否构成等腰梯形，主要看两腰能否等腰，本题应分别把AB、AM、BM看作底来判断．
（1）∵直线AB的函数解析式y=2x+12，
∴A（-6，0），B（0，12）．
又∵M为线段OB的中点，
∴M（0，6）．
∴直线AM的解析式y=x+6；
（2）设P点坐标（x，x+6），则|AP|=
2|x+6|，B到直线AM的距离d=
|0−12+6|
12+12＝3
2，
∴
1
2×
2|x+6|×3
2＝
1
2×6×12，
解得：x=6或-18．
∴P（6，12）或P（-18，-12）；
（3）存在这样的点H，使以A，B，M，H为顶点的四边形是等腰梯形．
若以AM为底，BM为腰，过点B作AM的平行线，当点H的坐标为（-12，0）时，以A，B，M，H为顶点的四边形是等腰梯形；
若以BM为底，AM为腰，过点A作BM的平行线，当点H的坐标为（-6，18）时，以A，B，M，H为顶点的四边形是等腰梯形；
若以AB为底，BM为腰，过点M作AB的平行线，当点H的坐标为（-[6/5]，[18/5]）时，以A，B，M，H为顶点的四边形是等腰梯形．
故所求点H的坐标为（-12，0）或（-6，18）或（-[6/5]，[18/5]）．
点评：
本题考点： 一次函数综合题．
考点点评： 本题为一次函数综合类的题，需掌握由函数图象求点的坐标，能够计算点到直线的距离．