Question

线性代数中,为何从秩,直接看出特征值?

Answer 1

这是秩为1的特殊矩阵,有关结论如下:

设A是秩为1的n阶方阵,则

1.A可表示为αβ^T,其中α,β为n维非零列向量(或β^Tα≠0).

反之,若A=αβ^T,其中α,β为n维非零列向量(或β^Tα≠0),则r(A)=1.

2.A^k = (β^Tα)^(k-1)A

3.A的特征值为 α^Tβ(=β^Tα),0,0,...,0

4.tr(A)=α^Tβ

说明:

1.方法:取A的一个非零的行向量,设为 β^T,

则其余各行是此行的ki倍.

令α=(k1,...,kn)^T,则 A=αβ^T.

比如

1 2 3

2 4 6

0 0 0

β=(1,2,3)^T,α = (1,2,0)^T

反之,若A=αβ^T,其中α,β为n维非零列向量(或β^Tα≠0)

则 A≠0,所以 r(A)>=1

又因为 r(A)=r(αβ^T)