如图,在正方形ABCD中,P为对角线BD上一点,PE垂直于BC,垂足为E,PF垂直于CD,垂足为F,求证

2个回答

  • 延长EP交AD于G,延长FP交AB于H,

    ∵ PE⊥BC,PF⊥CD

    则PH⊥AB,PG⊥AD

    又∵ABCD是正方形∴四边形 HPEB是矩形,四边形AGPH也是矩形,四边形PFCE也是矩形

    ∵ABCD是正方形 ∴∠PBE=45°则∠EPB=45°∴PE=BE

    ∴四边形 HPEB是正方形,EP=HP

    同理可得,四边形 GDFP是正方形,则GP=PF

    ∵四边形AGPH是矩形∴AG=HP=EP

    在Rt△EPF与Rt△AGP中,

    EP=AG ∠EPF=∠AGP=90°PF=GP

    ∴Rt△EPF≌Rt△AGP

    ∴EF=AP ∠APG=∠EFP

    延长AG交EF于Q,则∠FPQ=∠HPA

    ∵∠HPA+∠APG=∠HPG=90°

    ∴∠FPQ+∠EFP=90°

    ∴在△FPQ中,∠FQF=180°-(∠FPQ+∠EFP)=90°

    ∴EF⊥PQ 即EF⊥AP

    ∵四边形PFCE是矩形

    ∴FC=EP

    在Rt△BEP中,∠PBE=∠BPE=45°,∴PE=PBSin45°∴PB=PE/Sin45°=√2PE=√2FC