Question

设F1，F2为椭圆x29+y24＝1的两个焦点，P为椭圆上的一点，已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF

Answer 1

解题思路：当PF₂⊥x轴时，求出P的纵坐标，即得|PF₂|的值，由椭圆的定义求得|PF₁|，进而求得

|P

F

1

|

|P

F

2

|

的值．

当PF₁⊥PF₂时，设|PF₂|=m，由椭圆的定义求得|PF₁|，由勾股定理可解得m，进而求得

|P

F

1

|

|P

F

2

|

的值．

由题意得 a=3，b=2，c=

5，F₁（-

5，0），F₂（

5，0）．

当PF₂⊥x轴时，P的横坐标为

5，其纵坐标为±[4/3]，∴

|PF1|

|PF2|=

2a−

4

3

4

3=

6−

4

3

4

3=[7/2]．

当PF₁⊥PF₂时，设|PF₂|=m，则|PF₁|=2a-m=6-m，3＞m＞0，由勾股定理可得

4c²=m²+（6-m）²，即 20=2 m²-12 m+36，解得 m=2 或 m=4（舍去），

故

|PF1|

|PF2|=[6−2/2]=2．

综上，

|PF1|

|PF2|的值等于[7/2] 或2．

点评：

本题考点： 椭圆的简单性质；向量在几何中的应用．

考点点评： 本题考查椭圆的定义和标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，注意考虑

PF2⊥x轴时的情况．