Question

（2008•盐城一模）如果有穷数列a1，a2，a3，…，an（n为正整数）满足条件a1=an，a2=an-1，…，an=

Answer 1

解题思路：（1）设{b_n}的公差为d，依题意，可求得d，从而可得{b_n}的每一项；

（2）利用等差数列的求和公式可求得c_k+c_k+1+…+c_2k-1=-2k²+52k，从而可得S_2k-1=2（c_k+c_k+1+…+c_2k-1）-c_k=-4（k-13）²+4×13²-50，从而可得答案；

（3）依题意，可写出所有项数不超过2m的“对称数列”，依次求得每个“对称数列”前2008项的和即可．

（1）设{b_n}的公差为d，则b₄=b₁+3d=2+3d=11，解得 d=3，

∴数列{b_n}为2，5，8，11，8，5，2．

（2）∵c_k，c_k+1，…，c_2k-1是首项为50，公差为-4的等差数列，

∴c_k+c_k+1+…+c_2k-1=50k+

k(k−1)×(−4)

2=-2（k²-k）+50k，

∴S_2k-1=c₁+c₂+…+c_k-1+c_k+c_k+1+…+c_2k-1

=2（c_k+c_k+1+…+c_2k-1）-c_k

=-4（k²-k）+100k-50

=-4（k-13）²+4×13²-50，

∴当k=13时，S_2k-1取得最大值．S_2k-1的最大值为626．

（3）所有可能的“对称数列”是：

①1，2，2²，…，2^m-2，2^m-1，2^m-2，…，2²，2，1；

②1，2，2²，…，2^m-2，2^m-1，2^m-1，2^m-2，…，2²，2，1；

③2^m-1，2^m-2，…，2²，2，1，2，2²，…，2^m-2，2^m-1；

④2^m-1，2^m-2，…，2²，2，1，1，2，2²，…，2^m-2，2^m-1．

对于①，当m≥2008时，S₂₀₀₈=1+2+2²+…+2²⁰⁰⁷=2²⁰⁰⁸-1；

当1500＜m≤2007时，S₂₀₀₈=1+2+2²+…+2^m-2+2^m-1+2^m-2+…+2^2m-2009

=2^m-1+2^m-1-2^2m-2009

=2^m+2^m-1-2^2m-2009-1．

对于②，当m≥2008时，S₂₀₀₈=2²⁰⁰⁸-1．

当1500＜m≤2007时，S₂₀₀₈=2^m+1-2^2m-2008-1．

对于③，当m≥2008时，S₂₀₀₈=2^m-2^m-2008．

当1500＜m≤2007时，S₂₀₀₈=2^m+2^2009-m-3．

对于④，当m≥2008时，S₂₀₀₈=2^m-2^m-2008．

当1500＜m≤2007时，S₂₀₀₈=2^m+2^2008-m-2．

点评：

本题考点： 数列的求和；数列的函数特性．

考点点评： 本题考查数列的求和，突出考查等差数列的求和公式，考查抽象思维与逻辑思维、综合分析与运算能力，属于难题．