如图，已知椭圆E 1 方程为 x 2 a 2 + - 知识问答

如图，已知椭圆E 1 方程为 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a＞b＞0) ，圆E 2 方程为x 2 +y 2

1个回答

（I）当k₁=1时，点C在y轴上，且C（0，a），则B (-
a
2 ，
a
2 ) ，
由点B在椭圆上，得
(-
a
2 ) 2
a 2 +
(
a
2 ) 2
b 2 =1 ，化为
b 2
a 2 =
1
3 ，
∴ e=
c
a =
1-
b 2
a 2 =
6
3 ．
（II）设椭圆的作焦点为F₁，由椭圆的定义可知：|BF₁|+|BF₂|=2a，又|BA|+|BF₂|=2a，
∴|BF₁|=|BA|，则点B在线段AF₁的垂直平分线上，
∴ x B =-
a+c
2 ，
又 e=
c
a =
1
2 ，∴ c=
1
2 a ， b=
3
2 a ，
∴ x B =-
3
4 a ，代入椭圆方程得 y B =±
7
4 b = ±
21
8 a ，
∴ k 1 =
y B
x B +a = ±
21
2 ．
（III）直线BD过定点（a，0），证明如下：
设P（a，0），B（x_B，y_B），则
x 2B
a 2 +
y 2B
b 2 =1 （a＞b＞0）．
则k_AD•k_PB=
a 2
b 2 k 1 k PB =
a 2
b 2 •
y B
x B +a •
y B
x B -a =
a 2
b 2 •
y 2B
x 2B - a 2 =
a 2
b 2 ×(-
b 2
a 2 )=-1 ．
∴PB⊥AD，又PD⊥AD，
∴三点P，B，D共线，即直线BD过定点P（a，0）．

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