（首先请检查一下你的结论是否有误,应该是求ΔBMN的周长吧?!）
过点D作DE⊥MN于点E,延长BA至F,使AF=CN,连接DF.
∵四边形ABCD是正方形DA=DC,∠DCN=DAM=∠DAF=90°.
∴RtΔDAF≌RtΔDCNDF=DN,∠ADF=∠CDN.
∵∠MDN=45°∠ADM+∠CDN=45°∠ADN+∠ADM=∠MDF=45°.
∵DM=DM.
∴ΔMDF≌ΔMDN（SAS）MF=MN,DA=DE（全等Δ对应边上的高相等）.
∵MF=AM+AF=AM+CN.
∴MN=AM+CN.
∵DA=DE=DC,DM=DM,DN=DN.
∴RtΔDAM≌RtΔDEM,RtΔDCN≌RtΔDEN.
∴AM=ME,CN=NE.
∵MN=ME+NE.
∴MN=AM+CN.
ΔBMN的周长=BM+BN+MN=BM+BN+AM+CN=AB+BC=2.