Question

阅读下面的材料：如图（1），在以AB为直径的半圆O内有一点P，AP、BP的延长线分别交半圆O于点C、D．求证：AP•AC

Answer 1

（1）成立．

证明：如图（2），∵∠PCM=∠PDM=90°，

∴点C、D在以PM为直径的圆上，

∴AC•AP=AM•AD，BD•BP=BM•BC，

∴AC•AP+BD•BP=AM•MD+BM•BC；

∵AM•MD+BM•BC=AB ²，

∴AP•AC+BP•BD=AB ²．

（2）如图（3），过P作PM⊥AB，交AB的延长线于M，连接AD、BC，则C、M在以PB为直径的圆上；

∴AP•AC=AB•AM①，

∵D、M在以PA为直径的圆上，

∴BP•BD=AB•BM②，

由图象可知：AB=AM-BM③

由①②③可得：AP•AC-BP•BD=AB•（AM-BM）=AB ²．