令f(A) = B,且f(x) = y ∈ B,从而若要使得f[f(x)] = f(x),则必须 f(y) = y ∈ B,注意这里B是A的子集.
B的元素个数（即|B|）可能是1、2、3或者4.
如果|B| = 1,即B = {a},那么对任意的x ∈ A,f(x) ≡ a,此时共有C(4,1) = 4个映射满足题设条件.
如果|B| = 2,即B = {a,b},那么必然f(a) = a,f(b) = b,且对任意x ∈ A,f(x) = a或b.a和b有C(4,2) = 6种组合,而每当a和b固定时,f的选择又有4种,因此此时共6 * 4 = 24个映射.
如果|B| = 3,即B = {a,b,c},那么必然f(a) = a,f(b) = b,f(c) = c,且对任意x ∈ A,f(x) = a或b或c.a,b,c有C(4,3) = 4种组合,而每当a,b,c固定时,f的选择有3种,因此此时共4 * 3 = 12个映射.
最后,如果|B| = 4,那么唯一的可能就是整个A上的恒同映射,1种.
所以,总计有4 + 24 + 12 + 1 = 41种满足题设条件的映射.
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只是提供个思路,不保证计算无误……反正我经常算错.