Question

若关于X的方程4^x＋2^x*a＋a＋1=0有实根,求实数a的取值范围

Answer 1

4^x+a×2^x+a+1=0

(2^x)^2+a×2^x+a+1=0

2^x恒>0,令2^x=t,方程变为

t^2+at+a+1=0 (t>0)

方程有实根,即判别式≥0,且两根之和>0,两根之积>0

a^2-4(a+1)≥0

a^2-4a-4≥0

(a-2)^2≥8

a≥2+2√2或a≤2-2√2

设方程两根为t1,t2,则由韦达定理,得

t1+t2=-a

t1t2=a+1

-a>0 a0 a>-1

综上,得a的取值范围为(-1,2-2√2]