Question

设集合A={a1，a2，…，an}（ai∈N*，i=1，2，3，…，n，n∈N*），若存在非空集合B，C，使得B∩C=∅

Answer 1

解题思路：（1）根据题意求出m的可能值，并说明原因；（2）说明最强集合A中的每个元素可以都是偶数，也可以都是奇数；验证命题成立时满足条件的n的最小值即可．

（1）根据题意得，m的可能值为6，8，10；

原因如下：

若1+3+4=2+m，则m=6；

若2+3+4=1+m，则m=8；

若1+2+3+4=m，则m=10；

（2）设S_n=a₁+a₂+…+a_n，n∈N^*，根据题目条件不难判定：

对任意的i=1，2，…，n，S_n-a_i是偶数；

①如果S_n是偶数，则A中的每个元素也都是偶数，

即存在b_i∈N^*，使得a_i=2b_i，

而集合B={b₁，b₂，…，b_n}的每一个n-1元子集也是“最强集合”；

对集合B可以重复上面的讨论，总可以得到一个所有元素之和都是奇数且每一个n-1元子集都是“最强集合”的集合．

②不妨设S_n是奇数，则对任意的i=1，2，…，n，a_i也都是奇数，

又因为S_n=a₁+a₂+…+a_n，故n也是奇数；

假设奇数n≤5，对于n=1，3的情形，显然找不出满足条件的集合A，

设n=5，且不妨设a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅，

若集合{a₂，a₃，a₄，a₅}是“最强集合”，则a₂+a₅=a₃+a₄或a₂+a₃+a₄=a₅；

若集合{a₁，a₃，a₄，a₅}是“最强集合”，则a₁+a₅=a₃+a₄或a₁+a₃+a₄=a₅；

考虑其他可能的组合：

如果

a2+a5＝a3+a4

a1+a5＝a3+a4，那么a₁=a₂，与集合元素的互异性矛盾；

如果

a2+a5＝a3+a4

a1+a3+a4＝a5，那么a₁+a₂=0，与a_i∈N^*矛盾；

如果

a2+a3+a4＝a5

a1+a5＝a3+a4，那么a₁+a₂=0，与a_i∈N^*矛盾；

如果

a2+a3+a4＝a5

a1+a3+a4＝a5，那么a₁=a₂，与元素的互异性矛盾；

因此奇数n＞5，而当n=7时，容易验证集合A={1，3，5，7，9，11，13}的每一个6元子集均为“最强集合”；

综上所述，n的最小值为7．

点评：

本题考点： 集合的包含关系判断及应用；元素与集合关系的判断．

考点点评： 本题考查了新定义的有关元素与集合的概念和运算问题，解题时应理解题意，并根据所掌握的知识解答问题，是较难的题目．