Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数． 当a，b∈[-1，1]，且a+b≠0时，有 f(a)+f(b)

Answer 1

（Ⅰ）f（x）在[-1，1]上为增函数

证明：设x ₁，x ₂∈[-1，1]，且x ₁＜x ₂，在

f(a)+f(b)

a+b ＞0 中，令a=x ₁，b=-x ₂，有

f( x 1 )+f(- x 2 )

x 1 - x 2 ＞0，

∵x ₁＜x ₂，∴x ₁-x ₂＜0，又∵f（x）是奇函数，

∴f（-x ₂）=-f（x ₂），∴

f( x 1 )-f( x 2 )

x 1 - x 2 ＞0

∴f（x ₁）-f（x ₂）＜0，即f（x ₁）＜f（x ₂）．

故f（x）在[-1，1]上为增函数…（6分）

（Ⅱ）∵f（1）=1且f（x ）在[-1，1]上为增函数，对x∈[-1，1]，有f（x）≤f（1）=1．

由题意，对所有的x∈[-1，1]，b∈[-1，1]，有f（x）≤m ²-2bm+1恒成立，

应有m ²-2bm+1≥1⇒m ²-2bm≥0．记g（b）=-2mb+m ²，对所有的b∈[-1，1]，g（b）≥0成立．

只需g（b）在[-1，1]上的最小值不小于零…（8分）

若m＞0时，g（b）=-2mb+m ²是减函数，故在[-1，1]上，b=1时有最小值，

且[g（b）] _最小值=g（1）=-2m+m ²≥0⇒m≥2；

若m=0时，g（b）=0，这时[g（b）] _最小值=0满足题设，故m=0适合题意；

若m＜0时，g（b）=-2mb+m ²是增函数，故在[-1，1]上，b=-1时有最小值，

且[g（b）] _最小值=g（-1）=2m+m ²≥0⇒m≤-2．

综上可知，符合条件的m的取值范围是：m∈（-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞）．