已知⊙C的圆心为(3,1),且与y轴相切.若⊙C与直线x-y+a=0交于A,B两点,且OA⊥OB,求a的值.

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  • 解题思路:设A(x1,y1),B(x2,y2),由题设圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9,联立(x-3)2+(y-1)2=9与y=x+a,得x2+(a-4)x+[1/2](a-1)2=0.由此利用韦达定理和OA⊥OB,能求出a的值.

    设A(x1,y1),B(x2,y2),

    由题设圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9,

    联立(x-3)2+(y-1)2=9与y=x+a,

    整理消去y得x2+(a-4)x+[1/2](a-1)2=0.

    由韦达定理x1+x2=4-a,x1x2=[1/2](a-1)2

    OA•

    OB=x1x2+y1y2

    =x1x2+(x1+a)(x2+a)

    =2x1x2+a(x1+x2)+a2

    =(a-1)2+a(4-a)+a2=(a+1)2

    ∵OA⊥OB,∴

    OA•

    OB=(a+1)2=0,解得a=-1.

    点评:

    本题考点: 直线与圆的位置关系.

    考点点评: 本题考查实数的值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意直线与圆的位置关系的合理运用.