Question

设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且f（a）=f（b）=1，试证存在ξ、η∈（a，b），使得eξ-η[f

Answer 1

解题思路：用辅助函数法，构造辅助函数g（x）=e^x（f（x）-1），运用罗尔定理证明．

证明：

首先构造辅助函数：g（x）=e^x（f（x）-1），则g（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导．

∵f（a）=f（b）=1，

∴g（a）=g（b）=1

运用罗尔定理知：

∃η∈（a，b），使得g′（η）=e^η（f（η）+f′（η）-1）=0；

令ξ=η，则有e^ξ-η=1，

∴e^ξ-η（f（η）+f（η））=1

故得证．

点评：

本题考点： 拉格朗日中值定理．

考点点评： 本题考查罗尔定理的应用，属中档题．