解题思路：（1）O，C两点的坐标分别为O（0，0），C（8，6），利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）当Q在OC上运动时，Q的坐标满足直线OC的解析式，可设
Q(m，
3
4
m)
，则OQ就是Q运动的路程，利用勾股定理即可利用t表示出m，从而求得Q的坐标；
当Q在CB上运动时，Q点所走过的路程为2t，求得CQ的长度，即可求得Q的坐标；
（3）当Q点在OC上运动时，P运动的路程为t，则Q运动的路程为（22-t），根据△OPQ的面积等于梯形面积的一半，即可得到一个关于t的方程，根据方程的解得情况即可判断；
当Q在BC上运动时，Q走过的路程为（22-t），根据梯形OCQP的面积等于梯形OABC的面积的一半从而列方程求解．
（1）∵O，C两点的坐标分别为O（0，0），C（8，6），设OC的解析式为y=kx+b，
将两点坐标代入得：k＝
3
4，b=0．
∴y＝
3
4x．
（2）当Q在OC上运动时，可设Q(m，
3
4m)，依题意有：m2+(
3
4m)2＝(2t)2，解得m＝
8
5t．
则Q(
8
5t，
6
5t)（0≤t≤5）．
当Q在CB上运动时，Q点所走过的路程为2t．
∵OC=10，
∴CQ=2t-10．
∴Q点的横坐标为2t-10+8=2t-2．
∴Q（2t-2，6）（5≤t≤10）．
（3）∵梯形OABC的周长为44，当Q点在OC上运动时，P运动的路程为t，则Q运动的路程为（22-t）．
△OPQ中，OP边上的高为：(22−t)×
3
5．
∴S△OPQ＝
1
2t(22−t)×
3
5，S梯形OABC＝
1
2(18+10)×6＝84．
依题意有：[1/2t(22−t)×
3
5＝84×
1
2]．
整理得：t2-22t+140=0．
∵△=222-4×140＜0，
∴这样的t不存在．
当Q在BC上运动时，Q走过的路程为（22-t），
∴CQ的长为：22-t-10=12-t．
∴S梯形OCQP＝
1
2×6(22−t−10+t)＝36≠84×
1
2．
∴这样的t值也不存在．
综上所述，不存在这样的t值，使得P，Q两点同时平分梯形的周长和面积．
点评：
本题考点： 一次函数综合题．
考点点评： 此题是一次函数与梯形相结合的题目，解答此题的关键是结合图形分别表示出P，Q的坐标，分别求出各点的坐标再计算．