解题思路：（I）由Qn（xn，yn），Qn+1（xn+1，yn+1），知点Pn的坐标为（xn，yn+1），由此能求出点Q1、Q2的坐标；
（II）由Qn，Qn+1在曲线C上，知
y
n
＝
1
x
n
，
y
n+1
＝
1
x
n+1
，由Pn在曲线Cn上，知
y
n+1
＝
1
x
n
+
2
−n
，由此能求出数列{an} 的通项公式；
（III）由xn=（xn-xn-1）+（xn-1-xn-2）+…+（x2-x1）+x1=2-（n-1）+2-（n-2）+…+2-1+1=
1−
1−
(
1/2
)
n
1−
1
2
]=2-21-n，知an•bn=（xn+1-xn）•（yn-yn+1）=
2
−n
(
1
x
n
−
1
x
n+1
)
=[1
2
n
(
1
2−
2
1−n
−
1
2−
2
−n
)
=
1
(2•
2
n
−2)• (2•
2
n
−1)
，由此入手能够证明sn＜
1/3]．
（I）∵Qn（xn，yn），Qn+1（xn+1，yn+1），
∴点Pn的坐标为（xn，yn+1）
∵x1=1∴y1=1，∴Q1（x1，y1）即Q1（1，1）
C1：y＝
1
x+2−1，令x=1则y2=[2/3]
∴P1的坐标为（x1，y2）即（1，[2/3]）
令[2/3]=[1
x2得x2=
3/2]
∴Q2（x2，y2）即Q1（[3/2]，[2/3]）．-----------------------------------（2分）
（II）∵Qn，Qn+1在曲线C上，
∴yn＝
1
xn，yn+1＝
1
xn+1，
又∵Pn在曲线Cn上，
∴yn+1＝
1
xn+2−n，--------------------------------（4分）
∴xn+1=xn+2-n，
∴an=2-n．-----------------------------------------（6分）
（III）证明：xn=（xn-xn-1）+（xn-1-xn-2）+…+（x2-x1）+x1
=2-（n-1）+2-（n-2）+…+2-1+1
=1−
1−(
1
2)n
1−
1
2
=2-21-n．-------------------（9分）
∴an•bn=（xn+1-xn）•（yn-yn+1）=2−n(
1
xn−
1
xn+1)=[1
2n(
1
2−21−n−
1
2−2−n)=
1
(2•2n−2)• (2•2
点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和．
考点点评： 本题主要考查了等比数列的通项公式，以及等比数列的求和公式和数列与不等式的综合，同时考查了转化的思想和计算的能力，属于难题．
1年前
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