答：
（1）抛物线y=ax^2+x+c经过点A（1,0）,点B（m,0）,对称轴x=-1
A和B关于对称轴对称,所以：m=-3,点B为（-3,0）,点A和点B坐标代入抛物线方程得：
a+1+c=0
9a-3+c=0
解得：a=1/2,c=-3/2
所以：抛物线方程为y=x^2/2+x-3/2,点B（-3,0）,顶点C（-1,-2）
（2）抛物线y=x^2/2+x-3/2与直线y=-x+1联立求得：x1=1,x2=-5,y2=6；所以：点E为（-5,6）.
因为：AE与x轴的夹角为45°,∠BAE=45°,所以：△BAE中最大的∠ABE-3
AB=4,AE=6√2,BC=2√2,BP=p+3
△PBC∽△AEB：∠PBC=∠BAE=45°
2.1）当∠BPC为钝角时：∠BPC=∠ABE,所以：BC/AE=BP/AB
所以：2√2/(6√2)=(p+3)/4,解得：p=-5/3；所以：点P为（-5/3,0）.
2.2）当∠BCP为钝角时：∠BCP=∠ABE,所以：BP/AE=BC/AB
所以：(p+3)/(6√2)=2√2/4,解得：p=3；所以：点P为（3,0）.
综上所述,点P为（-5/3,0）或者（3,0）.
（3）根据正弦定理：PC/sin∠PBC=2R
R=PC/(2sin45°）=PC/√2
PC=2√10/3或者PC=2√5
所以：R=2√5/3或者R=√10