任意一个向量x,跟他垂直的超平面把空间分成两部分,一部分和x在同一侧,即满足和x的内积为正的那侧,一部分在异侧,内积为负.
由定义,正定的线性变换把任意一个向量x都变到x的同侧.
如果它有实特征值,必定是正数,否则的话它会把这特征向量变到另侧.
一个线性变换把一组幺正基e1,...,en变到另一组向量v1,...,vn,这n个新向量的端点和原点一起构成一个多面体.这多面体的体积就是线性变换的行列式.对正定变换来说,其行列式为正,所以这个多面体非退化,且v1,...,vn确定的定向和e1,...,en确定的定向相同.
补充:不会保持形状不变.保持不变的必须是等距,就是说,必须是正交变换O(n).
正定变换一般最常见的情况是正定对称变换.正定对称变换最常见的情况是用来定义内积.即定义 = x'Ay为x,y的内积.欧氏空间的内积用I来定义,即=x'y.