以下过程都是用坐标轴方程推导,x^2/a^2+y^2/b^2=1,且长轴在x轴上（其实不影响）.
把方程转化一下：y=|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)| sqr=开平方
先看普通情况——两轴焦点在0点处的椭圆的面积推导：
因为两轴焦点在0点,所以椭圆的面积可以分为4个相等的部分,分别是+x+y、-x+y、-x-y、+x-y四个区域,所以只要求出一个象限间所夹的面积,然后再乘以4就可以得到整个椭圆的面积.拣最简单的来吧,先求第一象限所夹部分的面积.
根据定积分的定义及图形的性质,我们可以把这部分图形无限分为底边在x轴上的小矩形,整个图形的面积就等于这些小矩形面积和的极限.现在应用元素法,在图形中任找取一点,然后再取距这点距离无限近的另一个点,这两点间的距离记做dx,然后取以dx为底边,两点分别对应的y为高,与曲线相交够成的封闭的小矩形的面积s,显然,s=y*dx
现在求s的定积分,即大图形的面积S,S=∫[0:a]ydx 意思是求0 到 a上y关于x的定积分
步骤：（第一象限全取正,后面不做说明）
S=∫[0:a]ydx=∫[0:a]|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)|dx
设 x^2/a^2=sin^2t 则
∫[0:a]|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)|dx=∫[0:pi/2]b*cost d(a*sint) pi=圆周率
∫[0:pi/2]b*cost d(a*sint)=∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt
cos^2t=1-sin^2t
∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt =[a*b*t](0:pi/2)-∫[0:pi/2]b*a*sin^2t dt
这里需要用到一个公式：∫[0:pi/2]f(sinx)dx=∫[0:pi/2]f(cosx)dx
证明如下 sinx=cos(pi/2-x) 设u=pi/2-x 则
∫[0:pi/2]f(sinx)dx=∫[pi/2:0]f(cosu)d(pi/2-u)= -∫[0:pi/2]f(sinu)d(pi/2-u)=∫[0:pi/2]f(sinu)du=∫[0:pi/2]f(sinx)dx
则∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt =[a*b*t](0:pi/2)-∫[0:pi/2]b*a*sin^2t dt=a*b*（pi/2）-∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt
那么 2*∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt=a*b*（pi/2)
则S=a*b*(pi/4)
椭圆面积S_c=a*b*pi
可见椭圆面积与坐标无关,所以无论椭圆位于坐标系的哪个位置,其面积都等于半长轴长乘以半短轴长乘以圆周率