Question

设a,b,c为△ABC的三边,求方程 x^2 +2ax +b^2 =0与 x^2 +2cx - b^2 =0有公共根的充

Answer 1

设m是两方程的公共根

则m^2+2am+b^2=0

m^2+2cm-b^2=0

两式相加得

2m^2+2am+2cm=0

2m(m+a+c)=0

所以m=0或m+a+c=0

若m=0,带回得b^2=0 b=0（不符合题意,三角形三边长围正数）

所以m+a+c=0 即m=-a-c

带回得(-a-c)^2+2a(-a-c)+b^2=0

整理得c^2+b^2-a^2=0

所以充要条件为三角形ABC为直角三角形,且A=90°