Question

已知抛物线y=ax2-（a+c）x+c（其中a≠c且a≠0）．

Answer 1

解题思路：（1）利用二次函数与x轴相交y=0，即可解决．

（2）首先表示出二次函数的顶点坐标，利用待定系数法求出．

（3）作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，利用三角函数关系解决．

（4）借助自变量的取值范围，代入二次函数解析式，即可解决．

（1）抛物线y=ax²-（a+c）x+c与x轴交点的横坐标是关于x的方程ax²-（a+c）x+c=0（其中a≠0，a≠c）的解．

解得x₁=1，x2＝

c

a．

∴抛物线与x轴交点的坐标为（1，0），(

c

a，0)

（2）抛物线y=ax²-（a+c）x+c的顶点A的坐标为(

a+c

2a，−

(a−c)2

4a)．

∵经过此抛物线顶点A的直线y=-x+k与此抛物线的另一个交点为B(

a+c

a，−c)，

∴

−

(a−c)2

4a＝−

a+c

2a+k①

−c＝−

a+c

a+k②

−c＝a(

a+c

a)2−(a+c)×

a+c

a+c③

由③得c=0．

将其代入①、②得

−

a

4＝−

1

2+k

0＝−1+k.

解得a=-2．

∴所求抛物线的解析式为y=-2x²+2x．

（3）作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F．（如图）

抛物线y=-2x²+2x的顶点A的坐标(

1

2，

1

2)，

点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，1）．

设点P的坐标为（m，n）．

∵点P在x轴上方的抛物线y=-2x²+2x上，

∴n=-2m²+2m，且0＜m＜1，0＜n＜

点评：

本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 此题主要考查了二次函数与x轴的交点坐标，以及二次函数顶点坐标的表示方法，二次函数解析式的求法等，综合性比较强．