已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,右准线与一条渐近线交于点A,△OAF的面积为a22(O为

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  • 解题思路:设A点是斜率为正的渐近线与右准线的交点,进而根据双曲线方程求得渐近线方程和右准线方程,进而把这两个方程联立求得点A的坐标,△OAF的面积以OF为底边计算的话,其上的高就是A点的纵坐标的绝对值,即:[ab/c],进而表示出△OAF的面积建立等式求得a=b,进而可知双曲线渐近线的斜率,可知其垂直,进而可推出答案.

    设A点是斜率为正的渐近线与右准线的交点

    双曲线斜率为正的渐近线方程为:y=[b/a]x

    而右准线为:x=

    a2

    c

    于是,渐近线与右准线的交点A,其横坐标就是

    a2

    c,纵坐标可求出是:

    y=[ab/c]

    △OAF的面积若是以OF为底边计算的话,其上的高就是A点的纵坐标的绝对值,即:[ab/c]

    ∴S△OAF=|OF|•[ab/c]•[1/2]=[ab/2c]=[ab/2]

    由题意有:[ab/2]=

    a2

    2

    ∴a=b

    ∴双曲线两条渐近线就是:y=±x

    ∴两条渐近线相互垂直

    ∴它们的夹角很容易得出是90°

    故答案为90°

    点评:

    本题考点: 双曲线的简单性质;双曲线的应用.

    考点点评: 本题主要考查了双曲线的简单性质.从近三年高考情况看,圆锥曲线的定义、方程和性质仍是高考考查的重点内容,平时应注意多积累.