Question

已知f(x)=ax2+bx+c,x∈[-1,1]都有|f(x)|≤1.求证:对一切x∈[-1,1]都有|2ax+b|≤4

Answer 1

首先,(I) |f(1)|=|a+b+c|≤1,(II) |f(-1)|=|a-b+c|≤1,（III）|f(0)|=|c|≤1

由（I）（III）可得,（IV）|a+b|≤2 由（II）（III）可得（V） |-a+b|≤2

由（I） (II) 可得,（VI）|a+c|≤1 （VII）|b|≤1

下面证明这个命题

（1）若a=0,则该命题易证.

（2）若a≠0,不妨设a＞0.（因为如果a＜0,则我们可以用-a,-b,-c来替代a,b,c）

反证法：若a＞2,则由（III）,（VI）可得,-1＜c＜-1,矛盾.

所以,（VIII） a≤2.

函数g（x）=|2ax+b|在【-1,1】上,最大值只可能在两个端点上取到.

而根据（V）和（VIII）,g（-1）=|-2a+b|≤4；

根据（IV）和（VIII）,g（1）=|2a+b|≤4.

所以g（x）≤4在x∈[-1,1]上恒成立.也就是原命题得证.

事实上,当a=2,b=0,c=-1时,不等式能取到等号.