Question

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c在区间[-2,2]上的最大值、最小值分别是M、m,集合A={x|f(x)=x}

Answer 1

（1）集合A={x|f(x)=x}={1,2}

表示当f(x)=x,即ax^2+(b-1)x+c=0时,

两根x1,x2分别为1,2

所以由韦达定理得x1+x2=-(b-1)/a=3

x1*x2=c/a=2

再由f(0)=c=2 解得a=1,b=-2,c=2

所以f(x)=x^2-2x+2=(x-1)^2+1

由f(x)图像可知:

m=f(x)min=f(1)=1

M=f(x)max=f(-2)=10

(2)集合A={x|f(x)=x}={2}

表示当f(x)=x,即ax^2+(b-1)x+c=0时,

只有唯一的一个根x=2

所以得△=（b-1)^2-4ac=0

且x=-b/2a=2

代入得b=-4a ,c=[(b-1)^2]/4a=4a+1/(4a)+2

则f(x）=ax^2-4ax+4a+1/(4a)+2

因为a≥1,所以可以利用基本不等式

得f(x)≥ax^2-4ax+2[√4a*1/(4a)]+2

=ax^2-4ax+4

对称轴x=-b/2a=-(-4a)/2a=2

由f(x)的图像可知：

m=f(X)min=f(2)=-4a+4

M=f(x)max=f(-2)=12a+4

则 g(a)=M+m=8a+8 (a≥1)

由g(a)的图像可知：g(a)在[1,+∞)上单调递增

所以g(a)min=g(1)=8*1+8=16