Question

解方程：（x+3）4+（x+1）4=82．

Answer 1

解题思路：由于左边括号内的两个二项式只相差一个常数，所以设y=[x+3+x+1/2]=x+2，因而首先将原方程转化为（y+1）⁴+（y-1）⁴=82．

通过完全平方差公式、平方差公式、因式分解将方程转化为（y²+10）（y²-4）=0．解得y的值，再代入换元式y=x+2求得x的值．即为方程的解．

假设y=[x+3+x+1/2]=x+2

则原方程变为（y+1）⁴+（y-1）⁴=82⇒[（y+1）²-（y-1）²]²+2（y+1）²×（y-1）²-82=0⇒16y²+2（y²-1）²-82=0⇒y⁴+6y²-40=0⇒（y²+10）（y²-4）=0．

∵y²+10≠0

∴只能是y²-4=0

解这个方程，得y=±2，即

x+2=±2．

解得原方程的根为x₁=0，x₂=-4．

点评：

本题考点： 高次方程．

考点点评： 本题通过换元，设y=x+2后，消去了未知数的奇次项，使方程变为易于求解的双二次方程．一般地，形如

（x+a）4+（x+b）4=c的方程，可以用换元（设y=x+a+b2）的方法化为双二次方程．