Question

（2013?莆田）如图，抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，与x轴交于点A（-3，0）和点B（1，0）．与y轴交于点C

Answer 1

（1）∵抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（-3，0）和点B（1，0），

∴抛物线解析式为y=a（x+3）（x-1）=ax²+2ax-3a，

∵y=a（x+3）（x-1）=a（x²+2x-3）=a（x+1）²-4a，

∴顶点D的坐标为（-1，-4a）；

（2）如图1，①设AC与抛物线对称轴的交点为E．

∵抛物线y=ax²+2ax-3a与y轴交于点C，

∴C点坐标为（0，-3a）．

设直线AC的解析式为：y=kx+t，

则：

?3k+t＝0

t＝?3a，

解得：

k＝?a

t＝?3a，

∴直线AC的解析式为：y=-ax-3a，

∴点E的坐标为：（-1，-2a），

∴DE=-4a-（-2a）=-2a，

∴S_△ACD=S_△CDE+S_△ADE=[1/2]×DE×OA=[1/2]×（-2a）×3=-3a，

∴-3a=3，解得a=-1，

∴抛物线的解析式为y=-x²-2x+3；

②∵y=-x²-2x+3，

∴顶点D的坐标为（-1，4），C（0，3），

∵A（-3，0），

∴AD²=（-1+3）²+（4-0）²=20，CD²=（-1-0）²+（4-3）²=2，AC²=（0+3）²+（3-0）²=18，

∴AD²=CD²+AC²，

∴∠ACD=90°，

∴tan∠DAC=[CD/AC]=

2

18=[1/3]，

∵∠PAB=∠DAC，

∴tan∠PAB=tan∠DAC=[1/3]．

如图2，设y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4向右平移后的抛物线解析式为y=-（x+m）²+4，两条抛物线交于点P，直线AP与y轴交于点F．

∵tan∠PAB=

OF

OA