Question

（2013?浙江模拟）设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线l过F且与抛物线C交于M、N两点，已知直线l与x

Answer 1

（Ⅰ）直线l与x轴垂直时，|MN|=2p，

∵△OMN的面积为2，

∴[1/2?2p?

p

2]=

p2

2=2，

∴p=2，

∴抛物线C的方程为y²=4x；

（Ⅱ）直线l与x轴垂直时，不满足，设正方形的第三个顶点P（0，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）

设l：y=k（x-1）（k≠0），代入y²=4x，可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，

∴x₁+x₂=

2k2+4

k2，x₁x₂=1，

∴MN的中点为（

k2+2

k2，[2/k]），

∴线段MN的垂直平分线为y-[2/k]=-[1/k]（x-1-[2

k2），

∴P（0，

3/k+

2

k3]），

∵

PM?

PN=0，

∴x₁x₂+（y₁-y₀）（y₂-y₀）=0，

∴1-4-y₀?[4/k]+y₀²=0，

由y₀=[3/k+

2

k3]代入，可得（3k⁴-4）（k²+1）=0，

∴k=±

4

3，

∴存在直线l：