Question

（2012•湖州）已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DA=DC，以点D为圆心，DA长为半径的⊙D与AB相切于A，

Answer 1

解题思路：（1）根据AD∥BC和AB切圆D于A，求出DAB=∠ADE=∠DEB=90°，即可推出结论；

（2）根据矩形的性质求出AB=DE=4，根据垂径定理求出CF=2CE，设AD=3k，则BC=4k，BE=3k，EC=k，DC=AD=3k，在△DEC中由勾股定理得出一个关于k的方程，求出k的值，即可求出答案．

（1）证明：∵⊙D与AB相切于点A，

∴AB⊥AD，

∵AD∥BC，DE⊥BC，

∴DE⊥AD，

∴∠DAB=∠ADE=∠DEB=90°，

∴四边形ABED为矩形．

（2）∵四边形ABED为矩形，

∴DE=AB=4，

∵DC=DA，

∴点C在⊙D上，

∵D为圆心，DE⊥BC，

∴CF=2EC，

∵[AD/BC＝

3

4]，设AD=3k（k＞0）则BC=4k，

∴BE=3k，

EC=BC-BE=4k-3k=k，

DC=AD=3k，

由勾股定理得DE²+EC²=DC²，

即4²+k²=（3k）²，

∴k²=2，

∵k＞0，

∴k=

2，

∴CF=2EC=2

2．

点评：

本题考点： 切线的性质；勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理．

考点点评： 本题考查了勾股定理，切线的判定和性质，矩形的判定，垂径定理等知识点的应用，通过做此题培养了学生的推理能力和计算能力，用的数学思想是方程思想，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．