解题思路：利用绝对值的几何意义，分类讨论，确定函数的单调性，）要使函数在（m，n）上既有最大值又有最小值，则最小值在x=a处取得，最大值在x=[3a/4]处取得，然后根据条件确定m，n的取值范围即可．
当x≥a时，f（x）=x2+3x|x-a|=4x2-3ax=4（x-[3a/8]）2-
9a2
16，
当x＜a时，f（x）=x2+3x|x-a|=-2x2+3ax=-2（x−
3a
4）2+
9a2
8，
要使得函数f（x）在开区间（m，n）内既有最大值又有最小值，则最小值一定在x=a处取得，最大值在x=[3a/4]处取得；
f（a）=a2，在区间（-∞，a）内，函数值为a2时x=[1/2a，
此时
a
2≤m＜
3a
4]；
f（[3a/4]）=
9a2
8，而在区间（a，+∞）内函数值为
9a2
8，
此时x=
3+3
3
8a，
∴a＜n≤
3+3
3
8a．
点评：
本题考点： 函数的最值及其几何意义．
考点点评： 本题主要考查带有绝对值的函数，求二次函数在闭区间上的最值，体现了转化、数形结合的数学思想，难度较大，综合性较强．