解题思路:连接DE、EF、DF.(1)当点G在线段BE上时,如图①,在EF上截取EH使EH=BG.由D、E、F是等边△ABC三边中点,可得△DEF、△DBE也是等边三角形且DE=[1/2]AB=BD,可证明△DBG≌△DEH,然后即可证明;
(2)当点G在射线EC上时,如图②,在EF上截取EH使EH=BG.由(1)可证△DBG≌△DEH.可得DG=DH,∠BDG=∠EDH.由∠BDE=∠BDG-∠EDG=60°,可得∠GDH=∠EDH-∠EDG=60°,即可证明.
(3)当点G在BC延长线上时,如图③,与(2)同理可证,结论成立.
证明:连接DE、EF、DF.
(1)当点G在线段BE上时,如图①,
在EF上截取EH使EH=BG.
∵D、E、F是等边△ABC三边中点,
∴△DEF、△DBE也是等边三角形且DE=[1/2]AB=BD.
在△DBG和△DEH中,
DB=DE
∠DBG=∠DEH=60°
BG=EH,
∴△DBG≌△DEH(SAS),
∴DG=DH.
∴∠BDG=∠EDH.
∵∠BDE=∠GDE+∠BDG=60°,
∴∠GDH=∠GDE+∠EDH=60°
∴在直线EF上存在点H使得△DGH是等边三角形.
(2)当点G在射线EC上时,如图②,
在EF上截取EH使EH=BG.
由(1)可证△DBG≌△DEH.
∴DG=DH,∠BDG=∠EDH.
∵∠BDE=∠BDG-∠EDG=60°,
∴∠GDH=∠EDH-∠EDG=60°.
∴在直线EF上存在点H使得△DGH是等边三角形.
(3)当点G在BC延长线上时,如图③,与(2)同理可证,结论成立.
综上所述,点G在直线BC上的任意位置时,该结论成立.
点评:
本题考点: 等边三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质.
考点点评: 本题考查了等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质,难度较大,关键是巧妙地作出辅助线进行解题.