已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形,又PD⊥底ABCD,且PD=CD,点M、N分别是棱A

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  • 解题思路:(1)取PB中点Q,连结MQ、NQ,利用三角形中位线定理和菱形的性质,证出QN

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    MD得到四边形MQND是平行四边形,可得DN∥MQ.利用线面平行判定定理,即可证出DN∥平面PMB;

    (2)由菱形ABCD中∠A=60°,得到△ABD是正三角形,从而MB⊥AD.由PD⊥底ABCD得到PD⊥MB,利用线面垂直的判定定理,证出MB⊥平面PAD,结合面面垂直判定定理可得平面PMB⊥平面PAD;

    (3)由前面的证明,可得△PBD是以D为直角顶点的等腰直角三角形,从而得到直线PB与平面BD的夹角为45°.

    (1)取PB中点Q,连结MQ、NQ,

    ∵M、N分别是棱AD、PC中点,

    ∴QN∥BC∥MD,且QN=MD,

    四边形MQND是平行四边形,可得DN∥MQ.

    ∵MQ⊂平面PMB,DN⊄平面PMB

    ∴DN∥平面PMB;…(5分)

    (2)∵PD⊥底ABCD,MB⊂平面ABCD,

    ∴PD⊥MB

    又∵底面ABCD为菱形,∠A=60°且M为AD中点,

    ∴MB⊥AD.

    又∵AD、PD是平面PAD内的相交直线,∴MB⊥平面PAD.

    ∵MB⊂平面PMB,∴平面PMB⊥平面PAD;…(10分)

    (3)连结BD,

    ∵底面ABCD是边长为a的菱形,∠A=60°

    ∴△ABD是边长为a的正三角形

    ∵PD⊥底ABCD,且PD=CD,

    ∴RT△PBD中,PD=BD=a,可得∠PBD=45°

    即直线PB与平面BD的夹角等于45°…(14分)

    点评:

    本题考点: 异面直线及其所成的角;单峰函数.

    考点点评: 本题给出特殊的四棱锥,求证线面平行、面面垂直并求两直线所成的角,着重考查了空间平行、垂直位置关系的判断与证明和空间角的求法等知识,属于中档题.