Question

已知函数f（x）=2x+a•2-x，x∈（-1，1），其中常数a≠0．

Answer 1

解题思路：（1）把a=1代入函数解析式，利用基本不等式求最值；

（2）分a=1，a=-1，a≠±1讨论函数的奇偶性；

（3）由已知求得x的范围，把f（x+1）＜f（2x）转化为2^x+1+a•2^-x-1＜2^2x+a•2^-2x，换元后分离变量得答案．

（1）当a=1时，f（x）=2^x+2^-x≥2，当且仅当2^x=2^-x，即x=0时f（x）取最小值2；

（2）f（-x）=2^-x+a•2^x，-f（x）=-2^x-a•2^-x，

∴当a=1时，f（-x）=f（x），f（x）为偶函数；

当a=-1时，f（-x）=-f（x），f（x）为奇函数；

当a≠±1时，f（x）为非奇非偶函数．

（3）由

−1＜x+1＜1

−1＜2x＜1，得−

1

2＜x＜0．

由f（x+1）＜f（2x）恒成立，得

2^x+1+a•2^-x-1＜2^2x+a•2^-2x，

令t＝2x∈(

2

2，1)，有2t+

2t

a＜t2+

a

t2，即a(1−

t

2)＞2t3−t4，

a

2(2−t)＞t3(2−t)，

∴

a

2＞t3≥1，

则a≥2．

点评：

本题考点： 函数恒成立问题；函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的判断．

考点点评： 本题考查了函数恒成立问题，考查了函数奇偶性的判断，考查了数学转化思想方法，训练了利用分离参数法求参数的范围，是中档题．