解题思路：（1）由两对角相等（∠APQ=∠C，∠A=∠A），证明△AQP∽△ABC；
（2）当△PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论．
（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示．由三角形相似（△AQP∽△ABC）关系计算AP的长；
（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．利用角之间的关系，证明点B为线段AP的中点，从而可以求出AP．
（1）证明：∵PQ⊥AQ，
∴∠AQP=90°=∠ABC，
在△APQ与△ABC中，
∵∠AQP=90°=∠ABC，∠A=∠A，
∴△AQP∽△ABC．
（2） 在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5．
∵∠QBP为钝角，
∴当△PQB为等腰三角形时，
（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示．
∵∠QBP为钝角，
∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ，
由（1）可知，△AQP∽△ABC，
∴[PA/AC=
PQ
BC]，即[3-PB/5=
PB
4]，解得：PB=[4/3]，
∴AP=AB-PB=3-[4/3]=[5/3]；
（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．
∵∠QBP为钝角，
∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=BQ．
∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P，
∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，
∴∠AQB=∠A，
∴BQ=AB，
∴AB=BP，点B为线段AP中点，
∴AP=2AB=2×3=6．
综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为[5/3]或6．
点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．
考点点评： 本题考查相似三角形及分类讨论的数学思想，难度不大．第（2）问中，当△PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．