Question

两个三角形的对应边上的高相等,求证这两个三角形全等

Answer 1

证明：设两个三角形分别为：△ABC,△A‘B’C‘.对应边分别为：a,b,c; a',b',c'

对应边上的高分别为：Ha,Hb,Hc; Ha',Hb',Hc'；面积分别为：S,S'

由面积公式S=1/2aHa=1/2bHb=1/2cHc

S'=1/2a'Ha'=1/2b'Hb'=1/2c'Hc'

∵Ha=Ha',Hb=Hb' ,Hc=Hc'

得：a/a'=b/b'=c/c'=S/S' 或a/a'=S/S' b/b'=S/S' c/c'=S/S'

所以：△ABC与△A‘B’C相似.（三角形对应边成比例,两三角形相似）

得∠A=∠A' ∠B=∠B' ∠C=∠C'

又由三角形的面积公式：S=1/2absinC S'=1/2a'b'sinC'

两式相除：ab/a'b'=S/S'

即（a/a')(b/b')=S/S'

代入a/a'=S/S' 得：b/b'=1 b=b'

同理可得：a=a' ,c=c'

两三角形对应边相等,则这两个三角形全等.

证毕