Question

一道简单的的证明函数可测,f（x）为定义在[0,1]上的函数,若x为有理数,则f(x)=x,若x为无理数呢f(x)=1-

Answer 1

有理数集是可数的,所以是零测集

无理数集是有理数集在R上的补集,所以也是可测的

当α>1时,E(f>α)=空集,可测

当0α)={x|x为(α,1]中的有理数}并{x|x[0,1-α)中的无理数}

这两个都是可测集的子集,所以他们的并集也可测

当α≤0时,E(f>α)=[0,1]是可测集

因此f(x)是L可测函数