Question

（2014•临汾模拟）选修4-1：几何证明选讲

Answer 1

解题思路：（1）如图所示，连接OE．利用切线的性质可得：OE⊥PE，于是∠PEF+∠OEF=90°．由已知AB⊥CD，可得∠OBF+∠BFM=90°．由同圆的半径相等可得∠OBF=∠OEB．即可得出结论．

（2）利用（1）可得∠PEF=∠PFE．于是PE=PF．利用“切割线定理”可得PE²=PD•PC．即可．

证明：（1）如图所示，连接OE．

∵PE切⊙O于点E，∴OE⊥PE，

∴∠PEF+∠OEF=90°．

∵AB⊥CD，∴∠OBF+∠BFM=90°．

∵OE=OB，∴∠OBF=∠OEB．

∴∠BFM=∠PEF；

（2）∵∠BFM=∠PEF，∠BFM=∠PFE，

∴∠PEF=∠PFE．

∴PE=PF．

∵PE切⊙O于点E，∴PE²=PD•PC．

∴PF²=PD•PC．

点评：

本题考点： 与圆有关的比例线段．

考点点评： 本题考查了圆的切线的性质、互余角的关系、同圆的半径相等的性质、切割线定理等基础知识与基本技能方法，属于中档题．