Question

对正整数n，设xn是关于x的方程nx3+2x-n=0的实数根，记an=[（n+1）xn]（n=2，3…），（符号[x]表

Answer 1

解题思路：（1）设t=（n+1）x，得到x=[t/n+1]，构造函数，利用函数的单调性以及函数的零点，判断a_n=[（n+1）X_n]=n然后求出a₃的值．

（2）直接利用等差数列求和公式以及（1）的结果，直接求解即可．

（1）设t=（n+1）x，则x=[t/n+1]，

∴nx³+2x-n=n

t3

(n+1)3+2[t/n+1]-n，记为g（t）=n

t3

(n+1)3+2[t/n+1]-n，n∈N，

当n≥2，则g（t）是增函数，

方程g（t）=0只有一个实根t_n．

g（n+1）=2＞0，

g（n）=

n(1+n−n2)

(n+1)3＜0，

∴n＜t_n＜n+1，

即n＜（n+1）x_n＜n+1，

∴a_n=[（n+1）x_n]=n，

∴a₃=3．

（2）由（1）可知，a_n=[（n+1）x_n]=n，

∴[1/2015]（a₂+a₃+…+a₂₀₁₆）=[1/2015×

(2+2016)×2015

2]=1008．

点评：

本题考点： 数列的应用；函数的值．

考点点评： 本题考查函数的单调性的应用函数的零点，数列求和的基本方法，考查分析问题解决问题以及计算能力．