已知圆x²+y²;=4,则A(4,0)作圆的割线ABC,则弦BC中点的轨迹是?

1个回答

  • 可以先画个图.设BC中点为P(x,y)

    连接OP由垂径定理得OP垂直AC

    而在AC转动时直角三角形OPA中的斜边OA始终不变即OA=4

    所以点P的轨迹为以OA为直径的圆的一部分

    则由

    向量PA点积向量PO=0

    得BC的轨迹方程为(x-2)^2+y^2=4

    下面需要找出定义域(就是范围)

    因为P点只能在圆x^2+y^2=4的内部.

    所以P点的极限情况是PA与该圆相切的情况.

    设PQ垂直 x轴于Q点

    此时可以根据直角三角形OQP相似于直角三角形OPA

    得到此时

    P(1,根号3)

    同理还有对称的部分

    弦BC中点的轨迹是

    (x-2)^2+y^2=4 (-根号3