双曲线16x 2 -9y 2 =144的左、右两焦点分别为F 1 、F 2 ,点P在双曲线上,且|PF 1 |•|PF

1个回答

  • 双曲线方程16x 2-9y 2=144化简为

    x 2

    9 -

    y 2

    16 =1

    即a 2=9,b 2=16

    ∴c 2=25,解得a=3,c=5,可得F 1(-5,0),F 2(5,0)…(3分)

    设|PF 1|=m,|PF 2|=n,

    由双曲线的定义知|m-n|=2a=6,又已知m•n=64,…(5分)

    在△PF 1F 2中,由余弦定理知

    cos∠ F 1 P F 2 =

    |P F 1 | 2 + |P F 2 | 2 - | F 1 F 2 | 2

    2|P F 1 |•|P F 2 | =

    m 2 + n 2 - (2c) 2

    2m•n

    =

    (m-n) 2 +2m•n-4 c 2

    2m•n =

    36+2×64-4×25

    2×64 =

    1

    2

    ∴ ∠ F 1 P F 2 =6 0 0

    因此,△PF 1F 2的面积为

    S △ F 1 P F 2 =

    1

    2 |P F 1 |•|P F 2 |•sin∠ F 1 P F 2 =

    1

    2 m•n•sin6 0 0 =16

    3 …(12分)