Question

高等代数证明：多项式f(x）,g(x)与h(x）都互素是f(x)g(x)与h(x)互素的充分必要条件.我认为可先得出两个

Answer 1

多项式f(x）,g(x)与h(x）都互素,则存在多项式u(x),v(x),u1(x),v1(x)有,

u(x)f(x)+v(x)h(x)=1,u1(x)g(x)+v1(x)h(x)=1

将上面两式相乘得

(u(x)f(x)+v(x)h(x))(u1(x)g(x)+v1(x)h(x))=1

u(x)f(x)(u1(x)g(x)+v1(x)h(x)+v(x)h(x)(u1(x)g(x)+v1(x)h(x))=1

u(x)f(x)u1(x)g(x)+u(x)f(x)v1(x)h(x)+v(x)h(x)u1(x)g(x)+v(x)h(x)v1(x)h(x)=1

u(x)u1(x)(f(x)g(x))+(u(x)f(x)v1(x)+v(x)u1(x)g(x)+v(x)v1(x)h(x))h(x)=1

于是得f(x)g(x)与h(x)互素.

如果f(x)g(x)与h(x)互素,则存在多项式u(x),v(x)有

u(x)f(x)g(x)+v(x)h(x)=1

从而可看出多项式f(x）,g(x)均与h(x)互素