因为：(n＋1)³＝n³＋3n²＋3n＋1
则有： 1³＝1³
2³＝1³＋3×1²＋3×1＋1
3³＝2³＋3×2²＋3×2＋1
……
n³＝(n－1)³＋3(n－1)²＋3(n－1)＋1
(n＋1)³＝n³＋3n²＋3n＋1
上述各式相加得：(n＋1)³＝1³＋3×(1²＋2²＋3²＋……＋n²)＋3×(1＋2＋3＋……＋n)＋n
3×(1²＋2²＋3²＋……＋n²)
＝(n＋1)³－n－1－3×(1＋2＋3＋……＋n)
＝n³＋3n²＋2n－3/2×n(n＋1)
＝n³＋3n²/2＋n/2
＝1/2×(2n³＋3n²＋n)
＝n(2n＋1)(n＋1)/2
所以：1²＋2²＋3²＋……＋n²＝n(2n＋1)(n＋1)/6