Question

已知椭圆b 2 x 2 +a 2 y 2 =a 2 b 2 （a＞b＞0）与圆x 2 +y 2 =4c 2 只有两个公共

Answer 1

（1）椭圆b ²x ²+a ²y ²=a ²b ²（a＞b＞0）与圆x ²+y ²=4c ²只有两个公共点，

故圆x ²+y ²=4c ²必过椭圆长轴端点或短轴端点，2c=a或2c=b

当2c=a时，可得

；

当2c=b时，可得

．

（2）∵a＞2c，

∴b=2c，

∴

，

∴椭圆b ²x ²+a ²y ²=a ²b ²为x ²+

y ²=a ²．

设直线x﹣y+m=0与x ²+

y ²=a ²联立，消去y可得9x ²+10mx+5m ²﹣4a ²=0

令△=0可得m=

，

根据题意，取m=

由题意，直线x﹣y+

=0与直线x﹣y﹣c=0距离为

．

∴

∵a=

c

∴a ²=5c ²
∵

∴c=1，a=

，b=2

∴椭圆的方程为