Question

如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长是2，侧棱长为3，E为棱B1C1的中点，连接CD1，CE，D1E，DB

Answer 1

解题思路：（I）连接C₁D，交CD₁于O，连接OE．可得OE是△B₁DC₁的中位线，得OE∥B₁D，结合线面平行的判定定理得DB₁∥平面CED₁；

（I）连接AB₁，过A₁作A₁M⊥AB₁，垂足为N，交BB₁于M．矩形AABB中，利用△A₁AB₁∽△B₁A₁M，求得B₁M=

A

1

B

1

2

A

A

1

=[4/3]，再由线面垂直的判定与性质，证出A₁M⊥平面AB₁D，从而A₁M⊥DB₁，因此侧棱BB₁是否存在一点M，当B₁M=[4/3]时，满足A₁M⊥DB₁．

（I）

连接C₁D，交CD₁于O，连接OE

∵四边形C₁D₁DC是矩形，∴O为C₁D的中点

∵△B₁DC₁中，E为B₁C₁中点，

∴OE是△B₁DC₁的中位线，得OE∥B₁D

∵OE⊂平面CED₁，DB₁⊄平面CED₁，

∴DB₁∥平面CED₁；

（II）连接AB₁，过A₁作A₁M⊥AB₁，垂足为N，交BB₁于M

∵矩形AABB中，∠AA₁B₁=∠A₁B₁M，∠A₁AB=∠B₁A₁M

∴△A₁AB₁∽△B₁A₁M，得

A A1

A1B1＝

A1B1

B1M，可得A1B12=AA₁•B₁M，B₁M=

A 1B12

AA1=[4/3]

∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD⊥平面A₁B₁BA，A₁M⊂平面A₁B₁BA，

∴A₁M⊥AD

∵A₁M⊥AB₁，AD与AB₁是平面AB₁D内的相交直线

∴A₁M⊥平面AB₁D，结合DB₁⊂平面AB₁D，得A₁M⊥DB₁，

因此侧棱BB₁是否存在一点M，当B₁M=[4/3]时，满足A₁M⊥DB₁．

点评：

本题考点： 直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．

考点点评： 本题给出特殊正四棱柱，求证线面平行并探索两条直线异面垂直，着重考查了空间平行、垂直位置关系的判断与证明等知识，属于中档题．