Question

设f(u,v)是可微函数,常熟a,b,c不全为零,试证明曲面f(cx-az,cy-bz)=0上各点的切平面均平行于一个定

Answer 1

先说一下思路,由于切平面和法向量垂直,所以要证切平面平行于某一常向量,只需证法向量与某一常向量垂直,其实就是要找到这样一个满足条件的常向量即可,下面我们来找这个常向量.首先求曲面在任一点处的法向量,根据公式,法向量应为(f'x,f'y,f'z),根据复合函数求导法则计算出f‘x=cf'1,f’y=cf'2,F‘z=-af'1-bf'2,因此法向量n=(cf'1,cf'2,-af'1-bf'2),不难看出取常向量m=(a,b,c),则n*m=acf'1+bcf'2-acf'1-bcf'2=0,即向量m和n垂直,因此我们要找的常向量就是m,也就完成了证明.