求不定积分(x+1)乘以(x2+1+x)的1/2次方

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  • ∫ (x+1).√(x^2+x+1) dx

    =(1/2)∫ (2x+1).√(x^2+x+1) dx + (1/2)∫ √(x^2+x+1) dx

    =(1/3)(x^2+x+1)^(3/2) +(1/2)∫ √(x^2+x+1) dx

    consider

    x^2+x+1 = (x+1/2)^2+3/4

    let

    x+1/2 = (√3/2)tany

    dx =(√3/2)(secy)^2.dy

    ∫ √(x^2+x+1) dx

    =(3√3/8)∫ (secy)^3 dy

    consider

    ∫ (secy)^3 dy = ∫ secy dtany

    = secy.tany - ∫ secy .(tany)^2 dy

    2∫ (secy)^3 dy = secy.tany + ∫ secy dy

    ∫ (secy)^3 dy = (1/2) [secy.tany + ln|secy+tany| )

    = (1/2) [(2/3)(2x+1)√(x^2+x+1) + ln| (2/√3).√(x^2+x+1)+ (2x+1)/√3| )

    ie

    ∫ (x+1).√(x^2+x+1) dx

    =(1/3)(x^2+x+1)^(3/2) +(1/2)∫ √(x^2+x+1) dx

    =(1/3)(x^2+x+1)^(3/2) +(3√3/32)[(2/3)(2x+1)√(x^2+x+1) + ln|(2/√3).√(x^2+x+1)+ (2x+1)/√3| ) + C