∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC=∠ADB=∠ABD=45°，
由折叠的性质可得：∠ADE=∠FDE=
1
2 ∠ADB=22.5°，
则∠AEG=90°-∠ADE=67.5°，∠AGE=∠ADE+∠DAC=22.5°+45°=67.5°，
∵∠AGE=∠AEG=67.5°，
∴AE=AG，即①正确；
设EF=x，则AE=x，BE=
2 EF=
2 x，AB=AE+BE=（
2 +1）x，
tan∠AGE=tan∠AEG=
AD
AE =
AB
AE =
2 +1．即②错误；
∵AB=（
2 +1）x，
∴AO=（1+
2
2 ）x，OG=AO-AG=AO-AE=
2
2 x，
易得△DOG ∽ △DFE，
∵
S △DOG
S △DFE =（
OG
EF ） 2=
1
2 ，
∴可得S △DOG=S 四边形EFOG，即③正确；
∵∠AGE=∠FGE（折叠的性质），∠AGE=∠AEG（①已证），
∴∠FGE=∠AEG，
∴GF ∥ AB，
又∵BF=EF（等腰直角三角形的性质）=AE=AG，
∴四边形ABFG为等腰梯形，即④正确；
由上面的解答可得：AE=
2 x，OG=
2
2 x，
故可得BE=2OG，即⑤正确．
综上可得：①③④⑤正确，共4个．
故选C．