Question

数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），点（an，Sn）在直线y=2x-3n上，

Answer 1

解题思路：（1）由“点（a_n，S_n）在直线y=2x-3n上．”可得S_n=2a_n-3n，由通项和前n项和关系可得a_n+1=2a_n+3，变形为a_n+1+3=2（a_n+3）符合等比数列的定义，从而求出c的值．

（2）由（1）根据等比数列通项公式求解有a_n+3=b•2^n-1=3•2ⁿ整理可得a_n=3•2ⁿ-3，先假设存在s、p、r∈N^*且s＜p＜r使a_s，a_p，a_r成等差数列根据等差中项有2a_p=a_s+a_r，再用通项公式展开整理有2^p-s+1=1+2^r-s∵因为s、p、r∈N^*且s＜p＜r所以2^p-s+1为偶数，1+2^r-s为奇数，奇数与偶数不会相等的．所以不存在．

（3）根据题意先求出

1

(

b

k

+1)(

b

k+1

+1)

的表达式，然后令g（x）=2^x即可得出结论成立．

（1）由题意知S_n=2a_n-3n

∴a_n+1=S_n+1-S_n=2a_n+1-3（n+1）-2a_n+3n∴a_n+1=2a_n+3（2分）

∴a_n+1+3=2（a_n+3）

∴

an+1+3

an+3，又a₁=S₁=2a₁-3a₁=3

∴a₁+3=6（4分）

∴数列{a_n+3}成以6为首项以2为公比的等比数列，

∴c=3．

（2）由（1）得a_n+3=b•2^n-1=3•2ⁿ

∴a_n=3•2ⁿ-3

设存在s、p、r∈N^*且s＜p＜r使a_s，a_p，a_r成等差数列

∴2a_p=a_s+a_r∴2（3•2^p-3）=3•2^s-3+3•2^r-3∴2^p+1=2^s+2^r（9分）

即2^p-s+1=1+2^r-s（*）

∵s、p、r∈N^*且s＜p＜r

∴2^p-s+1为偶数，1+2^r-s为奇数

∴（*）为矛盾等式，不成立故这样的三项不存在（12分）

（3）bn=[1/3an+1=2ⁿ，∴

1

(bk+1)(bk+1+1)]=[1

(2k+1)(2k+1+1)=

1

2k（

1

2k+1-

1

2k+1+1）（11分）

令g（k）=2^k，则有

g(k)

(bk+1)(bk+1+1)=

1

2k+1-

1

2k+1+1，

∴

n/

k＝1

g(k)

(bk+1)(bk+1+1)]=

n

k＝1（ [1

2k+1−

1

2k+1+1）

=（

1/2+1−

1

22+1]）+（ [1

22+1−

1

23+1）+…+（

1

2n+1−

1

2n+1+1）=

1/3−

1

2n+1+1]＜[1/3]（13分）

即指数函数g（x）=2^x，满足条件．

点评：

本题考点： 数列与不等式的综合；等差数列的性质；等比数列的性质．

考点点评： 本题主要考查数列与函数的综合运用，主要涉及了通项与前n项和的关系，构造等比数列，求通项，等差中项及数域问题．