（1）∵以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
又∵∠OCB+∠OBC=90°，
∴∠OCA=∠OBC，
又∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC ∽ △COB，（1分）
∴
OA
OC =
OC
OB ．
又∵A（-1，0），B（9，0），
∴
1
OC =
OC
9 ，
解得OC=3（负值舍去）．
∴C（0，-3），
故设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-9），
∴-3=a（0+1）（0-9），解得a=
1
3 ，
∴二次函数的解析式为y=
1
3 （x+1）（x-9），
即y=
1
3 x 2-
8
3 x-3．（4分）
（2）∵AB为O′的直径，且A（-1，0），B（9，0），
∴OO′=4，O′（4，0），（5分）
∵点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，
∴∠BCD=
1
2 ∠BCE=
1
2 ×90°=45°，
连接O′D交BC于点M，
则∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°，OO′=4，O′D=
1
2 AB=5．
∴O′D⊥x轴
∴D（4，-5）．（6分）
∴设直线BD的解析式为y=kx+b（k≠0）
∴
9k+b=0
4k+b=-5 （7分）
解得
k=1
b=-9
∴直线BD的解析式为y=x-9．（8分）
（3）假设在抛物线上存在点P，使得∠PDB=∠CBD，
解法一：设射线DP交⊙O′于点Q，则
BQ =
CD ．
分两种情况（如图所示）：
①∵O′（4，0），D（4，-5），B（9，0），C（0，-3）．
∴把点C、D绕点O′逆时针旋转90°，使点D与点B重合，则点C与点Q 1重合，
因此，点Q 1（7，-4）符合
BQ =
CD ，
∵D（4，-5），Q 1（7，-4），
∴用待定系数法可求出直线DQ 1解析式为y=
1
3 x-
19
3 ．（9分）
解方程组
y=
1
3 x-
19
3
y=
1
3 x 2 -
8
3 x-3
得
x 1 =
9-
41
2
y 1 =
-29-
41
6 或
x 2 =
9+
41
2
y 2 =
-29+
41
6
∴点P 1坐标为（
9+
41
2 ，
-29+
41
6 ），坐标为（
9-
41
2 ，
-29-
41
6 ）不符合题意，舍去．（10分）
②∵Q 1（7，-4），
∴点Q 1关于x轴对称的点的坐标为Q 2（7，4）也符合
BQ =
CD ．
∵D（4，-5），Q 2（7，4）．
∴用待定系数法可求出直线DQ 2解析式为y=3x-17．（11分）
解方程组
y=3x-17
y=
1
3 x 2 -
8
3 x-3
得
x 1 =3
y 1 =-8 ，
即
x 2 =14
y 2 =25
∴点P 2坐标为（14，25），坐标为（3，-8）不符合题意，舍去．（12分）
∴符合条件的点P有两个：P 1（
9+
41
2 ，
-29+
41
6 ），P 2（14，25）．
解法二：分两种情况（如图所示）：
①当DP 1∥ CB时，能使∠PDB=∠CBD．
∵B（9，0），C（0，-3）．
∴用待定系数法可求出直线BC解析式为y=
1
3 x-3．
又∵DP 1∥ CB，
∴设直线DP 1的解析式为y=
1
3 x+n．
把D（4，-5）代入可求n=-
19
3 ，
∴直线DP 1解析式为y=
1
3 x-
19
3 ．（9分）
解方程组
y=
1
3 x-
19
3
y=
1
3 x 2 -
8
3 x-3
得
x 1 =
9-
41
2
y 1 =
-29-
41
6 或
x 2 =
9+
41
2
y 2 =
-29+
41
6
∴点P 1坐标为（
9+
41
2 ，
-29+
41
6 ）或（
9-
41
2 ，
-29-
41
2 ）（不符合题意舍去）．（10分）
②在线段O′B上取一点N，使BN=DM时，得△NBD≌△MDB（SAS），
∴∠NDB=∠CBD．
由①知，直线BC解析式为y=
1
3 x-3．
取x=4，得y=-
5
3 ，
∴M（4，-
5
3 ），
∴O′N=O′M=
5
3 ，
∴N（
17
3 ，0），
又∵D（4，-5），
∴直线DN解析式为y=3x-17．（11分）
解方程组
y=3x-17
y=
1
3 x 2 -
8
3 x-3
得
x 1 =3
y 1 =-8 ，
x 2 =14
y 2 =25
∴点P 2坐标为（14，25），坐标为（3，-8）不符合题意，舍去．（12分）
∴符合条件的点P有两个：P 1（
9+
41
2 ，
-29+
41
6 ），P 2（14，25）．
解法三：分两种情况（如图所示）：
①求点P 1坐标同解法二．（10分）
②过C点作BD的平行线，交圆O′于G，
此时，∠GDB=∠GCB=∠CBD．
由（2）题知直线BD的解析式为y=x-9，
又∵C（0，-3）
∴可求得CG的解析式为y=x-3，
设G（m，m-3），作GH⊥x轴交于x轴与H，
连接O′G，在Rt△O′GH中，利用勾股定理可得，m=7，
由D（4，-5）与G（7，4）可得，
DG的解析式为y=3x-17，（11分）
解方程组
y=3x-17
y=
1
3 x 2 -
8
3 x-3
得
x 1 =3
y 1 =-8 ，
即
x 2 =14
y 2 =25
∴点P 2坐标为（14，25），坐标为（3，-8）不符合题意舍去．（12分）
∴符合条件的点P有两个：P 1（
9+
41
2 ，
-29+
41
6 ），P 2（14，25）．
说明：本题解法较多，如有不同的正确解法，请按此步骤给分．
过B作BM⊥CD于M，
B（9，0），C（0，-3），由勾股定理得：BC=
3 2 +9 2 =3
10 ，
∵∠BCD=45°，
∴BM=CM，
由勾股定理得：BM=3