Question

（2000•天津）如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD

Answer 1

解题思路：（1）要证线线垂直，只要证线面垂直，由线面垂直的判定定理，只要找到一条直线垂直于两条相交直线即可，由题意易得，∴△C₁BD为等腰三角形，故AC和BD交于O，则C₁O⊥BD，又AC⊥BD，命题可证．

（2）由（1）知∠C₁OC是二面角α-BD-β的平面角，由余弦定理解△C₁OC即可．

（3）可先猜测

CD

C

C

1

的值，然后证明A₁C⊥平面C₁BD．只要证A₁C⊥平面C₁BD内的两条相交直线即可，易得BD⊥平面AC₁，BD⊥A₁C．同理再证BC₁⊥A₁C即可．

（1）证明：如图：

连接AC、设AC和BD交于O，连接C₁O

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，BD=CD．

又∵∠BCC₁=∠DCC₁，C₁C=C₁C，

∴△C₁BC≌△C₁DC

∴C₁B=C₁D，

∵DO=OB

∴C₁O⊥BD，

但AC⊥BD，AC∩C₁O=O，

∴BD⊥平面AC₁C，

又C₁C⊂平面AC₁C

∴C₁C⊥BD．

（2）由（1）知AC⊥BD，C₁O⊥BD，

∴∠C₁OC是二面角α-BD-β的平面角．

在△C₁BC中，BC=2，C₁C=

3/2]，∠BCC₁=60°，

∴C₁B²=2²+（[3/2]）²-2×2×[3/2]×cos60°=[13/4]

∵∠OCB=30°，

∴OB=[1/2]BC=1．

∴C₁O²=C₁B²-OB²=[13/4−1＝

9

4]，

∴C₁O=[3/2]即C₁O=C₁C．

作C₁H⊥OC，垂足为H．

∴点H是OC的中点，且OH=

3

2，

所以cos∠C₁OC=[OH

C1O=

3/3]．

（3）如图：

当

CD

CC1=1时，能使A₁C⊥平面C₁BD

由（1）知，BD⊥平面AC₁C，

∵A₁C⊂平面AC₁C，∴BD⊥A₁C

当

CD

CC1=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，

同BD⊥A₁C的证法可得BC₁⊥A₁C，

又BD∩BC₁=B，

∴A₁C⊥平面C₁BD．

点评：

本题考点： 空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的性质；与二面角有关的立体几何综合题．

考点点评： 本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力．