把f看作复合函数g(h(x)),其中
h(x) = a^x -1
g(y) = y + (1/y) + 1
明显地,h的值域是(-1,+oo).而由定义可以直接验证,g在(-1,0)和(0,1)上分别单调减,在(1,+oo)上单调增,因此,g在该区间上的值域是(-oo,-1)U[3,+oo),这也是f的值域.
然后,根据g的单调性,当h(x)取值于相应的区间内时,f具有同样的单调性.它们分别对应于a^x取值于(0,1)、(1,2)以及(2,+oo)内.另一方面,当a1,h单调增.于是：
当a1：f在(-oo,0)、(0,log2/loga)内分别单调减,在(log2/loga,+oo)内单调增
其中log是自然对数